MCM y MCD: qué son, cómo calcularlos y en qué se diferencian
Qué son el MCM y el MCD, cómo se calculan por factorización y con el algoritmo de Euclides, en qué se diferencian y ejemplos resueltos paso a paso con números.
MCM y MCD se estudian juntos, se escriben casi igual y se confunden constantemente. La diferencia, en una línea: el MCD es el número más grande que cabe exactamente en ambos, y el MCM es el número más pequeño en el que caben ambos exactamente. Uno "baja", el otro "sube".
En esta guía verás las definiciones formales, los dos métodos de cálculo (factorización en primos y algoritmo de Euclides), la fórmula que los conecta y varios ejemplos resueltos con todas las cuentas.
Qué es el MCD (máximo común divisor)
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor número que los divide a todos sin dejar resto.
Ejemplo con 12 y 18:
- Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
- Divisores comunes: 1, 2, 3, 6
El mayor de ellos es 6, así que MCD(12, 18) = 6.
Este método por listas funciona con números pequeños, pero es inviable con 348 y 522. Para eso están los métodos que vienen ahora.
Qué es el MCM (mínimo común múltiplo)
El mínimo común múltiplo es el menor número (distinto de cero) que es múltiplo de todos ellos.
Ejemplo con 12 y 18:
- Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72…
- Múltiplos de 18: 18, 36, 54, 72…
- Múltiplos comunes: 36, 72, 108…
El menor es 36, así que MCM(12, 18) = 36.
Método 1: descomposición en factores primos
Es el método universal: sirve para el MCD y para el MCM, y para cualquier cantidad de números.
Paso 1. Descompón cada número en factores primos. Paso 2. Para el MCD, multiplica los primos comunes elevados al menor exponente. Paso 3. Para el MCM, multiplica todos los primos (comunes y no comunes) elevados al mayor exponente.
La regla mnemotécnica: MCD = comunes con el menor exponente. MCM = todos con el mayor exponente.
Ejemplo 1: 12 y 18
Descomposición:
- 12 = 2 × 2 × 3 = 2² × 3
- 18 = 2 × 3 × 3 = 2 × 3²
MCD: primos comunes son 2 y 3. Con el menor exponente: 2¹ × 3¹ = 6.
MCM: todos los primos con el mayor exponente: 2² × 3² = 4 × 9 = 36.
MCD(12,18) = 6 · MCM(12,18) = 36. Coincide con las listas de antes. ✔
Ejemplo 2: 24 y 36
Descomposición:
- 24 = 2³ × 3
- 36 = 2² × 3²
| Factor 2 | Factor 3 | Resultado | |
|---|---|---|---|
| 24 | 2³ | 3¹ | 24 |
| 36 | 2² | 3² | 36 |
| MCD (menor exponente) | 2² | 3¹ | 4 × 3 = 12 |
| MCM (mayor exponente) | 2³ | 3² | 8 × 9 = 72 |
MCD(24, 36) = 12 y MCM(24, 36) = 72.
Comprobación: 24 ÷ 12 = 2 y 36 ÷ 12 = 3 (divide a ambos ✔). Y 72 ÷ 24 = 3, 72 ÷ 36 = 2 (es múltiplo de ambos ✔).
Ejemplo 3: tres números (8, 12 y 20)
- 8 = 2³
- 12 = 2² × 3
- 20 = 2² × 5
MCD: el único primo presente en los tres es el 2, con menor exponente 2² = 4.
MCM: todos los primos con mayor exponente: 2³ × 3 × 5 = 8 × 15 = 120.
MCD(8,12,20) = 4 y MCM(8,12,20) = 120.
Método 2: algoritmo de Euclides (solo para el MCD)
Cuando los números son grandes, factorizar es lento. El algoritmo de Euclides obtiene el MCD con simples divisiones:
Divide el mayor entre el menor. Sustituye el par por (divisor, resto) y repite hasta que el resto sea 0. El último divisor no nulo es el MCD.
Ejemplo 4: MCD(48, 18)
| Paso | División | Cociente | Resto |
|---|---|---|---|
| 1 | 48 ÷ 18 | 2 | 12 |
| 2 | 18 ÷ 12 | 1 | 6 |
| 3 | 12 ÷ 6 | 2 | 0 |
El último resto distinto de cero es 6, luego MCD(48, 18) = 6. Tres divisiones y listo.
Ejemplo 5: MCD(1071, 462)
| Paso | División | Cociente | Resto |
|---|---|---|---|
| 1 | 1071 ÷ 462 | 2 | 147 |
| 2 | 462 ÷ 147 | 3 | 21 |
| 3 | 147 ÷ 21 | 7 | 0 |
MCD(1071, 462) = 21. Intentar esto por listas de divisores habría llevado un buen rato; con el calculador de MCD es instantáneo, pero conviene entender el mecanismo.
La fórmula que conecta MCM y MCD
Para dos números existe una relación exacta:
MCM(a, b) × MCD(a, b) = a × b
De ahí sale el atajo más útil de todo el tema: si ya conoces el MCD, el MCM sale con una división.
MCM(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b)
Comprobaciones:
| a | b | MCD | MCM | MCD × MCM | a × b |
|---|---|---|---|---|---|
| 12 | 18 | 6 | 36 | 216 | 216 ✔ |
| 24 | 36 | 12 | 72 | 864 | 864 ✔ |
| 15 | 20 | 5 | 60 | 300 | 300 ✔ |
| 48 | 18 | 6 | 144 | 864 | 864 ✔ |
Ejemplo aplicado: para 48 y 18 ya sabíamos por Euclides que el MCD es 6. Entonces MCM = (48 × 18) ÷ 6 = 864 ÷ 6 = 144.
Atención: esta fórmula solo vale para dos números. Con tres o más no se cumple: en 8, 12 y 20 el producto es 1920 y MCD × MCM = 4 × 120 = 480. Con tres números hay que usar factorización, o encadenar de dos en dos: MCM(8,12) = 24 y luego MCM(24, 20) = 120.
Diferencias de un vistazo
| MCD | MCM | |
|---|---|---|
| Qué busca | El mayor divisor común | El menor múltiplo común |
| Tamaño del resultado | Menor o igual que el número más pequeño | Mayor o igual que el número más grande |
| Factorización | Primos comunes, menor exponente | Todos los primos, mayor exponente |
| Método rápido | Algoritmo de Euclides | (a × b) ÷ MCD |
| Uso típico | Simplificar fracciones, repartir en grupos iguales | Denominador común, sucesos que coinciden |
| Si son primos entre sí | 1 | a × b |
Dos números primos entre sí (coprimos) son los que no comparten ningún factor: 8 y 9, por ejemplo. Su MCD es 1 y su MCM es 72, el producto.
Para qué sirven en la vida real
Simplificar fracciones (MCD)
Para reducir una fracción a su forma irreducible se divide numerador y denominador entre su MCD. Ejemplo: 18/24. MCD(18, 24) = 6 → 18 ÷ 6 = 3 y 24 ÷ 6 = 4 → 3/4. Si divides por un divisor común más pequeño (por ejemplo 2, dando 9/12), no llegas a la fracción irreducible en un solo paso. Puedes verlo aplicado en la calculadora para simplificar fracciones.
Denominador común (MCM)
Para sumar fracciones con distinto denominador necesitas el MCM de los denominadores. Con 5/6 + 3/8: MCM(6, 8) = 24, así que 20/24 + 9/24 = 29/24.
Sucesos que coinciden (MCM)
Dos autobuses salen de la misma parada: uno cada 12 minutos y otro cada 18 minutos. Si salen juntos a las 8:00, ¿cuándo vuelven a coincidir? MCM(12, 18) = 36 minutos → a las 8:36. El mismo razonamiento vale para turnos de trabajo, mantenimiento de máquinas o luces intermitentes.
Engranajes (MCM)
Un piñón de 8 dientes engrana con una rueda de 12 dientes. Los mismos dos dientes vuelven a tocarse tras MCM(8, 12) = 24 dientes, es decir, 3 vueltas del piñón y 2 de la rueda.
Repartos exactos (MCD)
Tienes 24 bolígrafos y 36 cuadernos y quieres armar lotes idénticos sin que sobre nada. El número máximo de lotes es MCD(24, 36) = 12, y cada lote llevará 2 bolígrafos y 3 cuadernos.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la diferencia entre MCM y MCD?
El MCD es el mayor número que divide exactamente a todos los números dados, así que es siempre menor o igual que el más pequeño de ellos. El MCM es el menor número que es múltiplo de todos, y siempre es mayor o igual que el mayor de ellos. Para 12 y 18: MCD = 6 y MCM = 36.
¿Cómo se calcula el MCM de dos números rápidamente?
Usa la fórmula MCM(a, b) = (a × b) ÷ MCD(a, b). Para 48 y 18, el MCD es 6, así que el MCM es 864 ÷ 6 = 144. Con tres o más números esta fórmula no funciona: hay que factorizar en primos o calcular el MCM por parejas de forma encadenada.
¿Qué es el algoritmo de Euclides?
Es el método más rápido para hallar el MCD de dos números. Divides el mayor entre el menor, luego el divisor entre el resto, y repites hasta que el resto sea 0; el último resto distinto de cero es el MCD. Ejemplo: 1071 ÷ 462 deja 147; 462 ÷ 147 deja 21; 147 ÷ 21 deja 0 → MCD = 21.
¿Cuál es el MCD de dos números primos entre sí?
Es 1. Dos números son primos entre sí (coprimos) cuando no comparten ningún factor primo, como 8 (2³) y 9 (3²). En ese caso el MCM es directamente su producto: MCM(8, 9) = 72. Por eso al sumar fracciones con denominadores coprimos basta con multiplicarlos.
Herramientas relacionadas
- Calculadora de MCM — mínimo común múltiplo de dos o más números con la descomposición en primos.
- Calculadora de MCD — máximo común divisor paso a paso, incluido el algoritmo de Euclides.
- Calculadora de fracciones — suma, resta, multiplica y divide fracciones aplicando el MCM automáticamente.